Et en 3D ?

Dans le projet, le réservoir ne bouge que d'avant en arrière, et l'eau ne peut osciller que dans ce plan. Un étage de fusée subit des efforts dans toutes les directions. Dans un cylindre, le premier mode de ballottement n'a pas de direction privilégiée : deux oscillations de même fréquence, l'une selon x, l'autre selon y, peuvent se combiner.

Décalées d'un quart de période, elles font tourner la vague autour de l'axe du réservoir : c'est le ballottement tournant. Un régulateur qui ne regarde qu'une direction ne peut pas le voir. Il faut mesurer l'effort dans les deux directions et commander le réservoir dans le plan.

Le modèle réduit garde la même idée : une partie m₁ de l'eau se comporte comme une masse au bout d'un pendule de longueur l₁, le reste suit le réservoir. Dans un cylindre, ce pendule peut osciller dans toutes les directions : c'est un pendule sphérique. Vu depuis le réservoir, qui accélère de (a_x, a_y), la masse ressent une pesanteur apparente et reste à distance l₁ du pivot :

λ est la tension du fil divisée par la masse et par l₁ ; elle s'ajuste à chaque instant pour garder le fil tendu. Pour un mouvement dans un seul plan, cette équation redonne exactement celle du projet : sur 2 000 états tirés au hasard, les accélérations coïncident à 3·10⁻¹⁵ m/s² près, la précision de la machine. La fréquence propre et la forme de la vague viennent de la théorie des ondes dans un cylindre1 :

J₁ est une fonction de Bessel, la « sinusoïde » des problèmes circulaires, et ξ₁₁ = 1,841 le premier zéro de sa dérivée : c'est la condition pour que l'eau ne traverse pas la paroi. La direction φ₀ de la vague n'est pas imposée par le réservoir : elle peut tourner.

Une conséquence utile : en « unités réduites » (le temps compté en périodes, les angles rapportés à l'amplitude), le pendule du cylindre obéit, pour de petites oscillations et dans chaque direction, à la même équation que celui du réservoir rectangulaire. C'est pourquoi le PID du projet, réglé en gains réduits (avec ω_s = ω₁ du cylindre), calme aussi le cylindre sans nouveau réglage. Cela cesse d'être vrai quand l'amplitude grandit : les deux directions se couplent, et c'est ce couplage qui peut faire tourner une vague secouée en ligne droite. Un contrôleur qui les regarde ensemble pourrait alors faire mieux.

Il n'est même pas nécessaire de secouer en rond. Secoué en ligne droite, juste au-dessus de sa fréquence propre et assez fort, un réservoir cylindrique voit sa vague quitter le plan d'excitation : la ligne où la surface ne bouge pas se met à tourner autour du réservoir1. Des expériences l'ont confirmé : l'onde plane bifurque vers une onde tournante, robuste, qui peut entraîner un écoulement tourbillonnaire du liquide4.

Le pendule sphérique retrouve ce comportement. Pour une secousse X = ε l₁ cos Ωt (ε : amplitude du déplacement rapportée à l₁), tout dépend du désaccord μ = ε^−2/3(Ω² − ω₁²)/ω₁². Le mouvement plan est stable pour μ < −0,945 ou μ > 0,757, le mouvement tournant pour μ > 0,154. Entre −0,945 et 0,154, aucun des deux n'est stable : la ligne nodale tourne, s'arrête et repart dans l'autre sens. Entre 0,154 et 0,757, seule l'onde tournante l'est ; au-delà de 0,757, les deux coexistent et l'état final dépend du départ2. Dans notre maquette, voir cette rotation naître d'une secousse plane demanderait plusieurs minutes, ou une amplitude hors du domaine du modèle : la figure 1 la provoque donc directement, par une secousse tournante.

L'étage principal d'Ariane 6 mesure 5,4 m de diamètre. Ses deux réservoirs contiennent 25 tonnes d'hydrogène liquide à −253 °C et 125 tonnes d'oxygène liquide à −183 °C5. Prenons un cylindre de 2,7 m de rayon rempli sur 5 m : c'est une hypothèse d'illustration, car un vrai réservoir a un fond bombé et un rayon intérieur un peu plus petit.

En vol, ce n'est plus la pesanteur qui fixe le rythme du ballottement, mais l'accélération apparente le long de l'axe du lanceur : la fréquence varie comme sa racine carrée1. Pour dimensionner les satellites, le manuel utilisateur d'Ariane 6 donne des accélérations longitudinales quasi statiques qui atteignent 4,6 g en fin de vol des propulseurs d'appoint, et retombent à zéro quand les moteurs s'éteignent6.

Quand l'accélération tombe presque à zéro, en orbite, la tension de surface l'emporte sur la pesanteur : c'est le régime de faible gravité, que mesure le nombre de Bond1. Notre pendule ne le représente pas. Sur Ariane 6, une petite unité de propulsion auxiliaire pousse doucement l'étage supérieur pour tasser les ergols dans les réservoirs avant de rallumer le moteur Vinci7.

Le ballottement n'est pas qu'une curiosité. En 2007, le deuxième vol de Falcon 1 s'est terminé environ une minute et demie trop tôt : des oscillations avaient fait ballotter l'ergol du deuxième étage loin de la sortie du réservoir9. Sur Apollo 11, une alarme de niveau bas s'est allumée 36 secondes trop tôt dans l'étage de descente du module lunaire, déclenchée par des vagues de ballottement ; des cloisons anti-ballottement ont été ajoutées à partir d'Apollo 1410. Dans les réservoirs cylindriques, les cloisons en forme d'anneau sont la parade la plus utilisée8 ; le contrôle actif cherche à obtenir le même effet sans leur masse.

• Un seul mode : le suivant, qui oscille 1,75 fois plus vite à h = R, est ignoré, comme en 2D.
• De petites vagues seulement : au-delà de 0,1 R (5 % du diamètre, 6,9° ici), l'amortissement réel dépend de l'amplitude ; au-delà de 10 % du diamètre, la vague elle-même n'est plus linéaire1. La figure le signale au-delà de cette seconde limite.
• Le rapport d'enquête sur la sonde NEAR juge ce type de pendule « plus ou moins standard dans l'industrie », mais bidimensionnel, et écrit qu'il ne modélise pas le ballottement rotatif11. Selon nous, le pendule sphérique reproduit l'onde qui tourne1, mais pas l'écoulement tourbillonnaire qu'elle peut entraîner4.
• Un fond plat, de l'eau à température ambiante, aucune cloison, aucune faible gravité : un vrai réservoir d'ergols cryogéniques ajoute tout cela.
• L'amortissement est celui des couches limites laminaires sur la paroi et le fond3, une borne basse, comme en 2D : les mesures donnent environ une fois et demie plus.

Si le calendrier du projet le permet, après la soutenance de la version 2D :

1. Valider le modèle 3D. Comparer la fréquence, la masse qui ballotte et l'amortissement du cylindre aux formules, puis à des mesures publiées sur des réservoirs cylindriques, comme le projet le fait en 2D avec une expérience.
2. Mesurer et agir dans le plan. Un capteur d'effort sur deux axes et un actionneur qui déplace le réservoir en x et en y, avec les mêmes imperfections (bruit, retard, saturation) que le projet.
3. Régler un PID sur deux axes, puis entraîner un réseau qui voit les deux à la fois. Même méthode d'apprentissage à travers le simulateur, entrées doublées, deux sorties. L'hypothèse à tester : le réseau reconnaît le ballottement tournant et le calme mieux que deux PID indépendants.
4. Garder les règles d'équité. Mêmes scénarios pour tous, dont des excitations tournantes jamais vues à l'entraînement, et un jeu de test scellé avant l'évaluation.

Le calcul complet du liquide, que le projet a écarté dès la 2D faute de temps, serait encore bien plus lourd en 3D. Avec le coût estimé pour la 2D (20 à 40 µs par cellule et par pas), un cylindre de 50 cm compterait environ 785 000 cellules de 5 mm, soit 17 à 35 h de calcul par essai de 20 s sur un cœur, et 6,3 millions de cellules de 2,5 mm, soit près de 300 à 570 h : il faudrait un calculateur parallèle. Ces ordres de grandeur, obtenus en multipliant ce coût par le nombre de cellules et de pas, n'ont jamais été mesurés.